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Lundi 24 Avril 2017 9:24 
Théorie de la relativité restreinte


La relativité restreinte est une théorie élaborée par Albert Einstein en 1905. Celle-ci est formulée à partir de la relativité galiléenne.


La relativité galiléenne

La relativité galiléenne stipule, pour faire simple, que les mouvements sont relatifs. Par exemple :

  • Si vous êtes dans un train en marche et posez un verre devant vous, il vous apparait immobile. Pourtant, ce verre est mobile pour toute personne qui est sur le quai. Le verre se déplace, dans la même direction que le train et à la même vitesse que celui-ci.
  • Quand nous dormons la nuit, nous sommes immobiles si notre référentiel est un point de la pièce de notre logement. Si notre point de référence est le centre de la Terre, nous ne sommes plus immobiles mais nous tournons, puisque la Terre tourne sur elle-même. Si notre point de référence est le centre du soleil, nous tournons non seulement autour du centre de la Terre mais également autour du soleil.

La relativité galiléenne stipule ainsi que... tout est relatif. La notion d'inertie ou de mouvement dépend avant tout dans quel référentiel on se place. Il n'existe pas de point de référence absolu dans l'Univers à partir duquel nous pouvons dire que les choses bougent ou non.

Les vitesses varient ainsi quand on change de référentiel. Ainsi, si une personne marche (à 5 km/h) dans un train qui roule à 200 km/h, vers l'avant de celui-ci, alors :

  • Vu du train, la personne marche à 5 km/h.
  • Vu du quai, la personne marche à 205 km/h.



La lumière pose problème

Nous vivons sur une planète en mouvement. Si nous marchons sur un chemin, notre déplacement suit le tracé du chemin. Toutefois, si nous détachons notre regard, il suit le tracé du chemin couplé au mouvement de la Terre (qui tourne sur elle-même, qui tourne autour du soleil). Si nous détachons encore un peu plus notre regard, tout ceci est couplé au mouvement du système solaire, de la Voie Lactée, etc…

Quid de la lumière ? Le déplacement de la lumière n’a pas un lien aussi évident avec le mouvement de la Terre que la trajectoire de nos pas. Si le mouvement rectiligne d’un homme qui avance sur un chemin est biaisé par le mouvement de la Terre, ce n’est pas forcément le cas d’un faisceaux lumineux, qui, lui, se propage dans un milieu immatériel, « dans l'air ». Quid du milieu dans lequel se déplace la lumière ? Se déplace-t-il, lui aussi ? Suit-il le mouvement de la Terre ? Celui du Soleil ?



Au 19ème siècle, les physiciens supposent que le vide rempli d’un constituant immatériel qui transporte les ondes, la lumière. Ce constituant est appelé l’éther. Deux théories s’affrontent :

  • Une majorité pense, comme Fresnel, que l’éther est « au repos » dans tout l’Univers. La Terre, le Soleil, bougent dans l’Univers, au sein d’un éther qui, lui, ne bouge pas.
  • Une minorité pense, comme Stokes, que l’éther est « entraîné » par la matière. Ainsi l’éther suit le même mouvement que la Terre.

La première théorie est très largement privilégiée à l’époque. Elle donne notamment une explication aux phénomènes « d’aberration de la lumière ». On a ainsi constaté, dès le 18ème siècle, que non seulement le positionnement mais aussi le mouvement des étoiles (dont nous percevons la lumière) n’était pas perçu de la même façon en fonction de l’endroit où on se trouve sur terre (au pôle nord ou au niveau de l’équateur par exemple). La Terre étant en mouvement, si l’éther au repos, il y a un différentiel de vitesse entre celui de la surface terrestre et celui de l’éther. Vu depuis la Terre, il y aurait ainsi un « vent d’éther » qui serait responsable de ces phénomènes.

En 1887, Albert Abraham Michelson et Edward Morley tentent de mesurer le vent d’éther. Ils tentent ainsi de mesurer une différence de vitesse de propagation de la lumière en fonction de la direction vers laquelle elle est émise. Si la théorie de Fresnel est la bonne, s’il y a bien présence d’un vent d’éther, on devrait constater une différence de vitesse de propagation en fonction de la direction vers laquelle la lumière est émise. Les résultats obtenus sont étonnant. On constate que quelle que soit la direction dans laquelle la lumière est émise, quelle que soit l’heure de la journée ou la période de l’année, la lumière est toujours mesurée à la même vitesse…

La théorie de Stokes contredite par les phénomènes d’aberration de la lumière. Celle de Fresnel l'est quant à elle par l’expérience de Michelson-Morley. Les résultats des différentes expériences deviennent difficiles à interpréter. Ceux-ci montrent que manifestement, l’éther n’existe pas et que, quel que soit le référentiel dans lequel on se situe, la vitesse de la lumière est invariante.


La relativité restreinte

La relativité galiléenne stipulait, en terme de positions et de vitesse, que tout était relatif. Les expériences menées à la fin du 19ème siècle apportaient la précision suivante : « oui, mais la vitesse de la lumière reste constante ».

Pour les corps mécaniques, les vitesses varient quand on change de référentiel. Si une personne marche (à 5 km/h) dans un train (à 200 km/h), dans le sens de la marche de celui-ci, alors :

  • Vu du train, la personne marche à 5 km/h.
  • Vu du quai, la personne marche à 205 km/h.

Pour la lumière, le raisonnement analogue n’est pas possible. Si un vaisseau spatial se déplace à 150 000 km/s, et si on y allume une lampe :

  • Vu du vaisseau, la lumière se déplace bien à 300 000 km/s.
  • Vu du quai, la lumière devrait se déplacer à… 450 000 km/s. Sauf que ce n’est pas possible. Les expériences ont montré que la vitesse de la lumière était indépendante du référentiel choisi. Dans tous les cas, la vitesse de la lumière ne peut dépasser 300 000 km/s.
  • Mais alors, si, vu du quai, la lumière se déplace aussi à 300 000 km/s, ça voudrait dire que, vu du vaisseau, la lumière ne se déplace finalement qu’à 150 000 km/s. Impossible, là encore. De plus, cela voudrait dire que la vitesse avec laquelle la lumière atteint les parois du vaisseau dépendrait… de la position où se trouve l’observateur. Impossible.

Comment résoudre une équation aussi tordue ? C’est à partir de la fin du 19ème siècle que les physiciens ont émis l’idée que, si la vitesse de la lumière était invariante quel que soit le référentiel, alors ce qui variait, c’était les longueurs et le temps. L’idée était que si on observait un train depuis un point fixe (le quai) :

  • Les longueurs du train sont contractées vu du quai. Au même titre que vu du train, les longueurs du quai sont également contractées.
  • Le temps à l’intérieur du train est contracté. Vu du quai, le temps s’écoule moins vite dans le train. Au même titre que vu du train, le temps s’écoule moins vite sur le quai.
  • Les temps à l’intérieur du train sont inclinés. Vu du quai, il n’est pas la même heure partout dans le train. Au même titre que vu du train, il n’est pas la même heure partout sur le quai. Au sein d’un train qui se déplace, les temps à l’avant, les temps situés « devant » sur l’axe de la direction (vitesse) sont plus anciens que ceux situés à l’arrière…

La relativité restreinte en animation, vue d'un quai
Selon la théorie de la relativité, la vitesse dépend du référentiel choisi.
Selon la théorie de la relativité restreinte, la vitesse dépend du référentiel choisi, mais, quel que soit le référentiel choisi, la lumière va toujours à la même vitesse (c = 3×108 m/s).

Dans l'exemple ci-dessus, on émet deux rayons laser à 12h00 :
- Un rayon depuis le quai
- Un rayon depuis l'intérieur du train

Selon la théorie de la relativité, quel que soit le référentiel choisi, la lumière doit aller à la même vitesse. Dans un laps de temps donné, la lumière doit avoir parcouru la même distance sur le quai et à l'intérieur du train, quel que soit leur différence de vitesse.

La théorie de la relativité restreinte d'Einstein résoud ce problème. Selon cet exemple simple :
- Contraction des longueurs : Le train (représenté par un rectangle violet) fait 8 carreaux de longueur mais, vu du quai, il n'en fait plus que 6.
- Contraction des temps : Vu du quai, le temps s'écoule moins vite à l'intérieur du train que sur le quai. Vu du quai, pour 6 minutes qui s'écoulent, il n'y en a que 5 qui s'écoulent dans le train.
- Dilatation des temps : Vu du quai, l'heure n'est pas la même à l'avant du train qu'à l'arrière. Il y a un différentiel de 3 minutes entre les deux.

La vidéo ci-dessous donne une excellente explication de ce qu’est la relativité restreinte :
http://www.youtube.com/watch?v=JTaMfufMl1o


La théorie de la relativité restreinte présente le principal intérêt de permettre une réciprocité. Elle se vérifie, aussi bien en observant un train sur un quai qu'en observant en quai dans un train :


La relativité restreinte en animation, vue d'un train
Voici l'exemple précédent mais en prenant cette fois la vue du train et non celle du quai. La dilatation des temps permet une réciprocité de la théorie des contractions des longueurs et des temps.
- Dans cet exemple, la lumière sur le quai parcourt 8 « carreaux contractés » en 16 minutes.
- Sachant que les longueurs du quai sont contractées de 3/4, la longueur réelle d'un « carreau contracté » est de 4/3 de carreau (soit environ 1,33 carreau).
- Ainsi, en 16 minutes, la lumière du quai parcourt 8 × (4/3) = 32/3 de carreau (soit environ 10,67 carreaux).
- Ce que donne sur le quai une longueur de 8 carreaux parcourus en 12 minutes, comme dans le train.

=> La théorie de la relativité restreinte est vérifiée.



Effets relativistes du champ électrique

Une charge électrique génère un champ électrique autour d’elle. Si cette charge est statique, ce champ électrique généré est isotrope. Le « flux » du champ électrique (quantité d’interaction) est uniformément réparti dans toutes les directions de l’espace. Sa valeur dépend de la quantité de charge (en Coulomb), qui elle-même dépend :

  • Du volume de la charge.
  • De la densité de charge par unité de volume.

Ici, la densité de charge par unité de volume est constante et uniformément répartie à l’intérieur de la charge :



Lorsque la charge électrique est en mouvement, les effets relativistes brisent cette symétrie. En effet, les longueurs dans l’axe du mouvement de la charge sont contractées. La quantité de charge reste constante, mais :

  • Le volume de la charge « diminue ».
  • La densité de charge « augmente ».

Au niveau des axes orthogonaux à la direction de la charge, les longueurs ne sont pas contractées, mais la densité de charge, elle, est accrue. En conséquence, le flux du champ électrique provoqué par la charge devient plus intense dans ces directions. Ainsi, le champ électrique émis par une charge en mouvement devient plus proche de ceci :




Concentration des lignes de champ électrique
Champ magnétique d'une charge se déplaçant à la vitesse v. Les lignes du champ électrique se concentrent dans la direction perpendiculaire à celle du déplacement de la charge. Ceci aboutit à une amplification des effets du champ électrique dans le plan orthogonal à celui du déplacement de la charge. Dans le référentiel d’un point fixe, l’amplification dépend de la vitesse (relative) de la charge, elle est égale à :

La vitesse c étant celle de la lumière, de 300 000 kilomètres à la seconde.

Ainsi, si nous sommes en deux dimensions, et si la charge se déplace sur l’axe x, si Ex et Ey sont les amplitudes du champ électrique pour une charge immobile et si E’x et E’y sont les amplitudes du champ électrique pour une charge à une vitesse v, alors :



Effets relativistes sur un fil conducteur

Soit un fil conducteur. S’il n’est pas alimenté, les protons comme les électrons peuvent être considérés comme statiques.



Si le fil est n’est pas alimenté, et si l'observateur se dirige vers la droite, la longueur du fil est contractée. Toutefois, comme les charges sont immobiles, les densités de charge positives comme négatives augmentent, donnant une charge globale toujours perçue comme nulle par l'observateur.



Si le fil est alimenté, les électrons sont mobiles. Toutefois, si l'observateur reste statique, la longueur du fil n'est pas contractée. Aussi, les densitées de charge, positives comme négatives, restes inchangées. Ceci donne une charge globale toujours perçue comme nulle par l'observateur.



Si le fil est alimenté, les électrons sont mobiles. Si l'observateur est mobile dans le sens des électrons, la longueur du fil est contractée. Puisque l'observateur est mobile dans le même sens que les électrons, la desnsité de charge des électrons augmente de manière moins importante que celle des protons du point de vue de l'observateur. Ceci donne une charge globale perçue comme positive.



Si le fil est alimenté, les électrons sont mobiles. Si l'observateur est mobile dans le sens inverse de celui des électrons, la longueur du fil est contractée. Puisque l'observateur est mobile dans le inverse de celui les électrons, la desnsité de charge des électrons augmente de manière plus importante que celle des protons du point de vue de l'observateur. Ceci donne une charge globale perçue comme négative.




Effets relativistes sur deux fils conducteurs parallèles

Analysons deux exemples. Soient deux conducteurs identiques parallèles, parcourus par deux courants électriques de même intensité :

  • Dans le premier cas, les deux courants circulent dans le même sens.
  • Dans le second cas, les deux courants sont de sens contraire.

On considèrera que, vu d’un point fixe, le courant circule à une vitesse « v » :

  • La vitesse du courant est de -v pour une circulation de droite à gauche (la vitesse des électrons est donc de +v dans ce cas).
  • La vitesse du courant est de +v pour une circulation de gauche à droite (la vitesse des électrons est donc de -v dans ce cas).
Cas de deux courants électriques de même sens

Deux conducteurs A et B sont parcourus par un courant qui va de la gauche vers la droite. Dans ce cas :

  • Vu des protons du conducteur A :
    • La densité des protons du conducteur B reste constante.
    • La densité des électrons du conducteur B reste constante.
  • Vu des électrons du conducteur A :
    • La densité des protons du conducteur B augmente.
    • La densité des électrons du conducteur B diminue.
  • Vu des protons du conducteur B :
    • La densité des protons du conducteur A reste constante.
    • La densité des électrons du conducteur A reste constante.
  • Vu des électrons du conducteur B :
    • La densité des protons du conducteur A augmente.
    • La densité des électrons du conducteur A diminue.

Ainsi, pour l’ensemble des électrons de chaque conducteur, les protons de l’autre conducteur qui sont de signes opposés sont vues comme plus denses que les électrons :

  • Les phénomènes d’attraction (entre charges de signes opposés) augmentent avec la vitesse du courant.
  • Les phénomènes de répulsion (entre charges de mêmes signes) diminuent avec la vitesse du courant.




Ainsi, deux conducteurs parallèles parcourus par deux courants électriques de même sens s’attirent. Cette attraction est d’autant plus importante :

  • Que l’intensité des courants respectifs est élevée.
  • Que les deux conducteurs sont proches.

Lorsqu’un certain seuil est franchi, on peut voir apparaître un phénomène d’aimantation.

Cas de deux courants électriques de sens opposés

Deux conducteurs C et D sont parcourus par un courant de même intensité. Celui du conducteur C va de la droite vers la gauche. Celui du conducteur D va de la gauche vers la droite. Dans ce cas :

  • Vu des protons du conducteur C :
    • La densité des protons du conducteur D reste constante.
    • La densité des électrons du conducteur D reste constante.
  • Vu des électrons du conducteur C :
    • La densité des protons du conducteur D augmente.
    • La densité des électrons du conducteur D augmente fortement.
  • Vu des protons du conducteur D :
    • La densité des protons du conducteur C reste constante.
    • La densité des électrons du conducteur C reste constante.
  • Vu des électrons du conducteur D :
    • La densité des protons du conducteur C augmente.
    • La densité des électrons du conducteur C augmente fortement.

Ainsi, pour l’ensemble des électrons de chaque conducteur, les protons de l’autre conducteur qui sont de signes opposés sont vues comme plus denses que les électrons :

  • Les phénomènes d’attraction (entre charges de signes opposés) augmentent avec la vitesse du courant.
  • Les phénomènes de répulsion (entre charges de mêmes signes) diminuent avec la vitesse du courant.



Ainsi, deux conducteurs parallèles parcourus par deux courants électriques de sens opposés se repoussent. Cette répulsion est d’autant plus importante :

  • Que l’intensité des courants respectifs est élevée.
  • Que les deux conducteurs sont proches.

Lorsqu’un certain seuil est franchi, on peut voir apparaître un phénomène d’aimantation.


Champ magnétique et référentiel d'observation choisi

La relativité galiléenne stipule, pour faire simple, que les mouvements sont relatifs. Pourtant, on voit bien que dans le cas des effets de courant électrique, une charge électrique ne « voit » pas un fil conducteur de la même façon selon qu’elle soit « immobile » ou « en mouvement ». Aussi, les effets magnétiques ne dépendent jamais du mouvement d’une particule de manière absolu, mais du mouvement d’une particule par rapport à une autre (ou plusieurs autres), ou, autre façon de dire les choses, du différentiel entre deux mouvements de deux entités chargées. Pour simplifier les calculs mathématiques, les physiciens ont opté pour une modélisation où les particules subissent :

  • Une « force électrique », sous l’effet d’un « champ électrique », lequel dépend du positionnement des charges les unes par rapport aux autres.
  • Une « force magnétique », sous l’effet d’un « champ magnétique », lequel dépend du positionnement et du mouvement des charges les unes par rapport aux autres.

Par convention, lorsque l’on trace des lignes de champs magnétiques, le référentiel choisi est celui où la source (un fil, une bobine, un aimant) qui génère le champ magnétique est fixe. Il est tout à fait possible de choisir un autre référentiel (un où la source du champ magnétique est en mouvement), mais dans ce cas, les lignes de champs magnétiques tracées s’en trouveraient modifiées.

On peut ainsi se situer dans le référentiel d'étude où le fil est fixe et le bonhomme mobile. Puisque le fil est fixe, on considère que le champ électrique résultant est nul. Par contre, le bonhomme subit l'influence d'un champ magnétique.



On peut aussi se situer dans le référentiel d'étude c'est le bonhomme qui est fixe (et le fil mobile). Puisque le bonhomme est fixe, il ne subit pas l'influence d'un champ magnétique. Par contre, dans un tel référentiel, le fil est mobile, ses longueurs sont contractées, et la densité de charge des protons est plus importante que celui des électrons (puisque le bonhomme marche dans le même sens que les électrons). Aussi, le bonhomme subit l'influence d'un champ électrique non nul, causé par un fil vu comme chargé positivement.



Le champ électrique et le champ magnétique, tout comme les forces qui en découlent, sont avant tout des modélisations mathématiques qui permettent de calculer les mouvements des particules. Dans l'exemple ci-dessous, dans le deux cas, on aboutit au même résultat, seule la méthode de calcul pour y parvenir change.

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